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\[\newcommand{\icol}[1]{ \bigl[ \begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix} \bigr] }\]

首先我们在 Is vector space a field? And what are: Groups / Rings / Fields / Vector Spaces? 讲的 field 是 algebra 的概念，但是 scalar field 和 vector field 里的 field 是 geometry 的概念，所以 scalar field、vector field 和 “group、ring、field” 里的这个 field 是不搭边的。

然后很多定义里用到的 map 或者 mapping，你可以简单理解为 function。Is there any difference between mapping and function? 提到 function 一般是映射到 $\mathbb{R}$，但是 map 可以映射到 anyting，比如说映射到一个 vector space $V$。

Vector Field

Quote from Lecture 19: Vectorfields, Math S21a: Multivariable calculus by Oliver Knill, Harvard Summer School:

A vector field in a plane is a map, which assigns each point $(x, y)$ to a vector $\vec F(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle = \icol{P(x, y) \newline Q(x, y)}$.

A vector field in a 3D space is a map, which assigns each point $(x, y, z)$ to a vector $\vec F(x, y, z) = \langle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) \rangle = \icol{P(x, y, z) \newline Q(x, y, z) \newline R(x, y, z)}$.

Quote from Wikipedia: Vector field:

If each component of $\vec F$ is continuous, then $\vec F$ is a continuous vector field, and more generally $\vec F$ is a $C^k$ vector field if each component of $\vec F$ is $k$ times continuously differentiable.

我自己做了一个例子：想象 $x^2 + y^2 = 1$ 这个圆在顺时针转动（圆心不动），每个点都沿切线有一个速度，这个切线速度我们用一个单位向量表示（暂不考虑向量长度的物理意义）。考虑圆与 axes 的 4 个焦点：

  • $\vec F(1, 0) = \langle 0， -1 \rangle = \icol{0 \newline -1}$
  • $\vec F(0, 1) = \langle 1， 0 \rangle = \icol{1 \newline 0}$
  • $\vec F(-1, 0) = \langle 0， 1 \rangle = \icol{0 \newline 1}$
  • $\vec F(0, -1) = \langle -1， 0 \rangle = \icol{-1 \newline 0}$

我们把这 4 个向量分别移动到对应的 4 个交点上（起点重合），可以得到：

这个 vector field 的定义可以归纳为 $\vec F(x, y) = \langle y, -x \rangle = \icol{y \newline -x}$。如果限定 $\vec F$ 的 domain 为 $\lbrace (x, y) \mid x^2 + y^2 = 1 \rbrace$，那么 $\vec F$ 的 image 就是圆上所有顺时针切线单位向量的集合。

如果不限定 domain，我们用 Wolfram 画一下：

VectorPlot[{y, -x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

可见向量的长度其实是有实际意义的。不过很多 vector field 的示意图里，由于 magnitude 的问题，向量经常画成统一的长度，然后用颜色来表示向量的长度级别。

其实这个概念你联系物理应用就很好理解。磁场 (Magnetic Field)、洋流 (Ocean Current)、风向以及其他各种流体力学，比如风洞 (Wind Tunnel) 测试，都可以用 vector field 表示：

所以 vector field 无非是用向量表示空间内每个点的 “运动趋势”，只是 $\vec F(\dots)$ 这个向量需要移动到对应的点上。

另外需要注意的一个问题是：维度要匹配，即你不能从一个 $n$-D space 的点 map 到一个 $(n-1)$-D vector 或者 $(n+1)$-D vector，只能是 map 到 $n$-D vector

从这个角度来看，没有降维也没有升维的 linear transformation 与 vector field 的区别在于：$A \vec x$ 并没有移动到 $\vec x$ 的终点上，而是任然以原点为起点。

降维的 linear transformation 好理解；升维的 linear transformation 会有很神奇的拓扑变形效果，比如 YouTube: Transformations, part 3 | Multivariable calculus | Khan Academy 介绍的这个：

\[\vec F(t, s) = \icol{3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \newline 3\sin(t) + \sin(t)\cos(s) \newline \sin(s)}\]

限定 $0 \leq t \leq 2 \pi, 0 \leq s \leq 2 \pi$，可以从一个正方形变形成一个 donut。

Scalar Field

A scalar field in a space is a map, which assigns each point $(x, y, z, \dots)$ to a scalar.

典型的应用：heat map

注意要与曲线方程区别。比如 $y = x$ 是对角直线，和 field $F(x, y) = x - y$ 是不同的，后者是 heat map，只是对角线上的值为 0：

DensityPlot[x-y,{x,-10000,10000},{y,-10000,10000}]

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